RESOLVENCY OF AN APPROXIMATING SYSTEM OF EQUATIONS WITH DELTA-SHAPED COEFFICIENTS
Article Sidebar
Main Article Content
Abstract
Equations and systems of the form \(L_0 u=-\Delta u+A(\varepsilon)\delta u = f\), appear in various applied fields and are subjects of intensive study. The product \(\delta u\), involved in these equations, is not defined within the framework of classical theory of generalized functions, making one of the main tasks the assignment of a meaningful interpretation to this expression in the left-hand side of the equation – аthat is, essentially, the construction of an operator corresponding to the given formal expression. To achieve this, specialized approximations of the operator of multiplication by the \(\delta\)-function are used. The methodology for investigating equations with \(\delta\)-shaped coefficients includes several main stages: construction of approximations of the expression under consideration by operators of finite rank; finding the resolvent of the approximating family; finding the limit of the resolvent and identifying cases of resonance; description of the spectrum of the constructed limit operators; investigation of the behavior of the values of the approximating operators. In this work, the first two stages of the aforementioned approach are considered for systems consisting of three equations with delta-shaped coefficients.
Article Details
References
1. Альбеверио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио [и др.] ; пер. с англ. В. А. Гейлера [и др.] – М. : Мир, 1991. – 566 с.
2. Антоневич, А. Б. Аппроксимации операторов с дельта-образными коэффициентами / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук // Актуальные проблемы математики : сб. науч. тр. ГрГУ им. Я. Купалы ; редкол.: Е. А. Ровба [и др.]. – Гродно, 2008. – С. 11–28.
3. Антоневич, А. Б. Уравнения с дельта-образными коэффициентами: метод конечномерных аппроксимаций / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук. – Саарбрюккен : LAPLAMBERT, 2012.
4. Березин, Ф. А. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев // Доклады АН СССР. – 1961. – Т. 137, № 5. – С. 1011–1014.
5. Кот, М. Г. О резольвентной сходимости операторов, аппроксимирующих систему уравнений с δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Вестник Белорусского государственного университета. Физика. Математика. Информатика. – 2015. – № 1. – С. 111–117.
6. Кот, М. Г. Асимптотика собственных вектор-функций операторов, аппроксимирующих дифференциальные уравнения с δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларуci. Серыя фiзіка-матэматычных навук. – 2017. – № 3. – С. 15–26.
7. Романчук, Т. А. Явление резонанса для матрично-значных функций / Т. А. Романчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларуci. Серыя фiзіка-матэматычных навук. – 2008. – № 2. – С. 8–16.
8. Кащенко, И. С. Асимптотическое разложение решений уравнений : метод указания / И. С. Кащенко ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2011. – 44 с.