ON FINITE GROUPS WITH WEAKLY PROPERMUTABLE SUBGROUPS
Article Sidebar
Main Article Content
Abstract
A subgroup \(A\) is called propermutable in a group \(G\) if there exists a subgroup \(B\) such that \(G = N_G(A) B\) and \(AX\) is a subgroup for every subgroup \(X\) of \(B\). We say also that \(H\) is completely propermutable in \(G\) if \(H\) is propermutable in every subgroup of \(G\) including \(H\). A subgroup \(H\) is called weakly propermutable in \(G\) if \(H = \langle A, B \rangle\) for some subnormal subgroup \(A\) of \(G\) and completely propermutable subgroup \(B\) of \(G\). In this paper, we present new properties of weakly subnormal subgroups, and also provide new information on the structure of a group \(G = AB\) with weakly propermutable subgroups \(A\) and \(B\). In particular, we prove that if \(A, B \in \mathfrak{F}\), then \(G^{\mathfrak{F}} \leq (G^{\prime})^{\mathfrak{N}}\), where \(\mathfrak{F}\) is a saturated formation such that \(\mathcal{U} \subseteq \mathfrak{F}\). Also we investigate the groups \(G = AB\) in which all Sylow (maximal) subgroups of \(A\) and of \(B\) are weakly propermutable in \(G\).
Article Details
References
1. Ballester-Bolinches, A. Products of finite groups / A. Ballester-Bolinches, R. Esteban-Romero, M. Asaad. – Berlin : De Gruyter, 2010.
2. Монахов, В. С. О сверхразрешимости группы с полунормальными подгруппами / В. С. Монахов, А. А. Трофимук // Сибирский математический журнал. – 2020. – Т. 61, № 1. – C. 148–159.
3. Трофимук, А. А. Конечные факторизуемые группы с ограничениями на сомножители / А. А. Трофимук. – Мн. : Изд. центр БГУ, 2021. – 262 с.
4. Yi, X. On S-propermutable subgroups of finite groups / X. Yi, A. N. Skiba // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. – 2015. – Vol. 38, nr 2. – P. 605–616.
5. Yi, X. Some new characterizations of PST-groups / X. Yi, A. N. Skiba // J. Algebra. – 2014. – Vol. 399. – P. 39–54.
6. Al-Sharo, K. A. Finite groups with given systems of weakly S-propermutable subgroups / K. A. Al-Sharo // J. Group Theory. – 2016. – Vol. 19. – P. 871–887.
7. Trofimuk, A. A. Finite groups with given systems of propermutable subgroups / A. A. Trofimuk // Eurasian Math. J. – 2024. – Vol. 15, nr 1. – P. 91–97.
8. Zubei, E. V. On a finite group with OS-propermutable Sylow subgroup / E. V. Zubei // Acta Math. Hungar. – 2024. – Vol. 174. – P. 570–577.
9. The GAP Group: GAP – Groups, Algorithms, and Programming. Ver. GAP 4.15.0 released on 28 September 2025. – URL: http://www.gap-system.org .
10. Йи, С. Проперестановочные характеризации конечных разрешимых PST-групп и PT-групп / С. Йи // Сибрский математический журнал. – 2015. – Т. 56, № 2. – C. 377–388.
11. Хуан, Ц. Конечные группы со слабо субнормальными и частично субнормальными подгруппами / Ц. Хуан, Б. Ху, А. Н. Скиба // Сибрский математический журнал. – 2021. – Т. 62, № 1. – C. 210–220.
12. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. – М. : Наука, 1978. – 272 с.
13. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hawkes. – Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1992. – 899 p.
14. Huppert, B. Endliche Gruppen / B. Huppert. – Berlin : Springer-Verlag, 1967.
15. Подгорная, В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В. В. Подгорная // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. – 2000. – № 4. – С. 22–25.
16. Монахов, В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов / В. С. Монахов. – Мн. : Выш. шк., 2006. – 207 c.
17. Монахов, В. С. О сверхразрешимом корадикале произведения субнормальных сверхразрешимых подгрупп / В. С. Монахов, И. К. Чирик // Сибрский математический журнал. – 2017. – Т. 58, № 2. – C. 353–364.
18. Skiba, A. N. On weakly s-permutable subgroups of finite groups / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2007. – Vol. 315. – P. 192–209.