Точки Лебега для функций из классов Соболева на пространстве \(p\)-адических чисел

Аннотация

Пусть \(u \in W^q_{\alpha}(\mathbb{Q}^m_p)\) – обобщенные классы Соболева на поле \(p\)-адических чисел и \(\mathrm{Cap}_{\alpha,q}\) – соответствующая емкость. Мы покажем, что для любой функции \(u \in W^q_{\alpha}(\mathbb{Q}^m_p)\), \(\alpha \gt 0\), \(1 \lt q \lt m\alpha^{-1}\), существует множество \(E \subset \mathbb{Q}^m_p\) такое, что \(\mathrm{Cap}_{\alpha,q}(E) = 0\) и для любого \(x \in \mathbb{Q}^m_p \setminus E\) выполнено

$$\lim_{\gamma \to -\infty} \frac {1}{\mu(B_\gamma (x))} \int\limits_{B_\gamma (x)} ud\mu = u^*(x)\mathrm{,} \quad \lim_{\gamma \to -\infty} \frac {1}{\mu(B_\gamma (x))} \int\limits_{B_\gamma (x)} |u - u^*(x)|^s d\mu = 0\mathrm{,} \quad $$

$$\mathsf{где} \quad \frac 1s = \frac 1q - \frac {\alpha}m \mathrm{,} \quad B_\gamma(x)= \{x \in \mathbb{Q}^m_p \mathrm{:} {\Vert x - y \Vert}_{\mathbb{Q}^m_p} \le p^\gamma \} \mathrm{.}$$

Более того, функция \(u^*\) обладает \(\mathrm{Cap}_{\alpha,q}\)-свойством Лузина и \(\mathrm{Cap}_{\alpha,q} (\{u^* \neq u\} ) = 0\).