EXPLICIT FORM OF THE RESOLVENT OF AN APPROXIMATION SYSTEM OF THREE EQUATIONS WITH DELTA-SHAPED COEFFICIENTS AND A CYCLIC INFLUENCE MATRIX
Article Sidebar
Main Article Content
Abstract
Equations written in the form \(L_0u = -\Delta u + A(\varepsilon)\delta u = f\), are encountered in various fields and are the subject of detailed study. The product \(\delta u\) in this equation is not defined within the classical theory of generalized functions, so one of the main tasks is to assign a meaningful meaning to the expression on the left-hand side of the equation, i. e., to define an operator corresponding to this formal notation. For this purpose, special approximations of the multiplication operator by the \(\delta\)-function are used.
The process of studying equations with delta-shaped coefficients includes several main stages: constructing approximations of the expression in question by finite-rank
operators; finding the resolvent of the approximating family; finding the limit of the resolvent and identifying resonance cases; describing the spectrum of the constructed limit operators; and studying the behavior of the eigenvalues of the approximating operators. This paper considers the first two stages of the above approach for systems consisting of three equations with delta-shaped coefficients, where the matrix \(A(\varepsilon)\) is cyclic, which establishes a consistent relationship between the three components of the system.
Article Details
References
1. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, Х. Хольден ; пер. с англ. В. А. Гейлера [и др.]. – М. : Мир, 1991. – 566 с.
2. Антоневич, А. Б. Аппроксимации операторов с дельта-образными коэффициентами / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук // Актуальные проблемы математики : сб. науч. тр. / ГрГУ им. Янки Купалы ; редкол.: Е. А. Ровба [и др.]. – Гродно, 2008. – С. 11–28.
3. Антоневич, А. Б. Уравнения с дельта-образными коэффициентами: метод конечномерных аппроксимаций / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук. – Саарбрюккен : LAPLAMBERT, 2012.
4. Березин, Ф. А. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев // Доклады АН СССР. – 1961. – Т. 137, № 5. – С. 1011–1014.
5. Кот, М. Г. О резольвентной сходимости операторов, аппроксимирующих систему уравнений с δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Вестник БГУ. Серия 1, Физика. Математика. Информатика. – 2015. – № 1. – С. 111–117.
6. Кот, М. Г. Асимптотика собственных вектор-функций операторов, аппроксимирующих дифференциальные уравнения с δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларуci. Серыя фiзіка-матэматычных навук. – 2017. – № 3. – С. 15–26.
7. Романчук, Т. А. Явление резонанса для матричнозначных функций / Т. А. Романчук // Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларуci. Серыя фiзіка-матэматычных навук. – 2008. – № 2. – С. 8–16.
8. Кащенко, И. С. Асимптотическое разложение решений уравнений: метод указания / И. С. Кащенко. – Ярославль : ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2011. – 44 с.