Разрешимые группы со свободными от \(n\)-х степеней индексами \(\mathrm{P}\)-субнормальных подгрупп в своих нормальных замыканиях

Abstract

Рассматриваются конечные группы. Пусть \(k_p(G) = \max\limits_{H \ \mathrm{P}\text{-}sn \ G} \left\{j | p^j \Vert \left|H^G : H\right|\right\}\) и \(k(G) = \max\limits_p k_p(G)\), где \(\mathrm{P}\)-\(sn\) \(G\) – обозначение \(\mathrm{P}\)-субнормальной подгруппы в группе \(G\). Для разрешимой группы \(G\) установлена зависимость производной длины и нильпотентной длины от значений \(k(G)\). Уточнены данные оценки инвариантов для малых значений \(k(G)\). В частности, для разрешимой группы \(G\) с \(k(G) < 2\) нильпотентная длина не превышает 4, а \(p\)-длина не превышает 1 для всех \(p > 3\), 2-длина не выше 2, 3-длина не выше 2.