Характеристика гильбертовых пространств с помощью преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах

Аннотация

Мы рассматриваем преобразование Фурье векторнозначных функций на локально компактной абелевой группе \(G\), принимающих значения в банаховом пространстве \(X\), квадратично интегрируемых по Бохнеру. Если \(G\) конечная группа, то преобразование Фурье является ограниченным оператором. Если \(G\) бесконечна, то преобразование Фурье \(F\) : \(L_2(G, X) \to L_2(G^{\wedge}, X)\) является ограниченным оператором тогда и только тогда, когда банахово пространство \(X\) изоморфно гильбертову пространству.