Модификации метода Ньютона в полиномиальном анализе банаховых уравнений - Морозов, Владимир Васильевич (Веснік Брэсцкага ўніверсітэта. Серыя 4. Фізіка. Матэматыка, 2022)
Исходя из аксиоматики функционального анализа А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина, Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова, аппроксимацию корней функциональных уравнений надлежит осуществлять с помощью элементов всюду плотного в сепарабельном пространстве решений множества многочленов. Однако по-прежнему наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений считается метод конечных разностей. Основное содержание метода заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. Обоснованность замены дифференциального уравнения разностным, точность получаемых решений, устойчивость метода – важнейшие вопросы, которые требуют тщательного изучения. Данная проблема возникает из-за невозможности сравнения корня уравнения и его дискретного приближения по норме пространства решений, являющейся главным противоречием основной идеи разностных методов постулатам функционального анализа.