Об отражении частиц спина ½ «геометрической средой» пространства Лобачевского, учет внешнего электрического поля

Аннотация

Ранее было показано, что геометрия пространства Лобачевского может рассматриваться в электродинамическом контексте как основа для моделирования эффективной среды, действующей как распределенное в пространстве и ориентированное перпендикулярно оси \(z\) идеальное зеркало. В настоящей работе аналог этого эффекта исследован для поля со спином ½. В явном виде построены решения уравнения Дирака, описывающие ситуацию, когда поле отражается от (геометрического) эффективного потенциального барьера, не проникая за него. Глубина проникновения в такую «среду» определяется характеристиками квантовых состояний фермиона и радиусом кривизны пространства Лобачевского; для решений с \(k_1 = 0\), \(k_2 = 0\) эффективный отражающий барьер исчезает. Проведен учет внешнего ориентированного вдоль оси \(z\) электрического поля. Задача приводится к дифференциальному уравнению второго порядка с четырьмя особыми точками, причем одна особая точка на бесконечности – нерегулярная ранга 3. При устранении электрического поля выведенное уравнение упрощается до вырожденного уравнения Гойна, при этом появляется возможность построить его решения в терминах вырожденных гипергеометрических функций.