Теорема о неустойчивости положений равновесия в области треугольника Лагранжа ограниченной задачи четырёх тел

Аннотация

Рассматривается ограниченная круговая задача четырёх тел, сформулированная на основе треугольных решений Лагранжа. Обсуждаются вопросы устойчивости решений задачи типа положений равновесия, располагающихся в области треугольника Лагранжа. Предлагается простое доказательство неустойчивости таких решений для любых значений параметров на основе символьных преобразований, которое не использует численных расчётов. Проводится анализ квадратичной части функции Гамильтона, выводится необходимое и достаточное условие устойчивости положений равновесия в первом приближении в виде системы неравенств, и показывается, что в области треугольника Лагранжа одно из неравенств системы не выполняется. Таким образом, на основе теоремы Ляпунова делается вывод о неустойчивости положений равновесия, располагающихся в области треугольника Лагранжа. Приведенное доказательство является простым, полностью основано на символьных вычислениях и позволяет исследовать решения на устойчивость при любых значениях параметров задачи, ограничившись рассмотрением лишь первого приближения.