Асимптотика решений некоторых дифференциальных уравнений с дельта-образными коэффициентами

Аннотация

Уравнения и системы, записываемые в виде \(L_0u = -\Delta u + A(\varepsilon)\delta u = f\) возникают в разных приложениях и интенсивно изучаются. Входящее в это уравнение произведение \(\delta u\) не определено в классической теории обобщенных функций, поэтому одной из основных задач является придание смысла выражению в левой части уравнения, т. е. фактически построение оператора, который соответствует данному формальному выражению. Это достигается с помощью специальных аппроксимаций оператора умножения на \(\delta\)-функцию. Для исследования уравнений с \(\delta\)-образными коэффициентами применяется подход, основные этапы которого: построение аппроксимаций рассматриваемого выражения с помощью операторов конечного ранга; нахождение явного вида резольвенты аппроксимирующего семейства; нахождение предела резольвенты и выделение случаев резонанса, когда предельный оператор не совпадает с \(-\Delta\); описание спектра построенных предельных операторов; исследование поведения собственных значений аппроксимирующих операторов. Цель данной работы заключается в исследование асимптотического поведения аппроксимирующих семейств операторов.