Частица Дирака с учетом аномального магнитного момента, описание свойств точных решений уравнения в кулоновском поле

Аннотация

Исследована задача о частице со спином 1/2 и аномальным магнитным моментом (дополнительно учтено взаимодействие Паули) во внешнем кулоновском поле. После разделения переменных задача сведена к дифференциальным уравнениям второго порядка для двух радиальных функций с одной регулярной особой точкой и двумя нерегулярными в \(r = 0, \infty\) ранга 2. Построены локальные решения Фробениуса около точек\(r = 0\) и \(r = \infty\). По методу Пуанкаре – Перрона показана сходимость возникающих при этом степенных рядов с 5-членными рекуррентными соотношениями; ряды сходятся соответственно внутри и вне круга радиуса 1. На границе двух областей поведение решения вполне регулярное. Вычислены относительные коэффициенты в двух парах решений системы уравнений в зависимости от знака \(\pm\) при параметре аномального магнитного момента. Развит еще один способ анализа системы, основанный на полученных дифференциальных уравнениях 4-го порядка, которые имеют в качестве особых точек только точки \(r = 0\) и \(r = \infty\) ранга 2. Построены локальные решения Фробениуса для этих уравнений около точки \(r = 0\), возникающие степенные ряды с 7-членными рекуррентными соотношениями для коэффициентов сходятся согласно методу Пуанкаре – Перрона во всей области изменения переменной \(r \in [0, \infty\)). Качественный анализ поведения эффективного обобщенного радиального импульса показывает, что финитные движения (т.е. связанные состояния) в такой системе возможны.