Аппроксимативные свойства бигармонических интегралов Пуассона–Чебышева на классе Липшица

Аннотация

В работе исследуются аппроксимативные свойства бигармонических интегралов Пуассона-Чебышева на классах Липшица порядка \(\alpha\), \(0 \lt \alpha \le 1\), функций, заданных на отрезке \([-1,1]\), т.е., функций, удовлетворяющих условию \(|f(x_1) - f(x_2)| \le |x_1 - x_2|^\alpha \quad \forall x_1, x_2 \in [-1,1]\). Эти свойства определяются поведением верхних граней \(E(H^\alpha; B_\rho; x) = \sup\limits_{f \in H^\alpha}|f(x) - B_\rho (f; T; x) |\) при всех \(0 \lt \alpha \le 1\) в каждой точке конечного отрезка вещественной оси. Исследованию аппроксимативных свойств различных матричных методов – сумм Фурье, Фейера, Валле-Пуссена, Абеля-Пуассона и т.д., а также наилучшых приближений функций, заданных на отрезке, посвящены работы С.М. Никольского, А.Ф. Тимана, В.К. Дзядыка, В.П. Моторного, Н.П. Корнейчука, Р.М. Тригуба, Ю.И. Русецкого и других математиков. Нами получены асимптотические при \(\rho \to 1-\), \(0 \lt \alpha \le 1\), равенства для величины \(E(H^\alpha; B_\rho; x)\), а также ее точное значение при всех \(0 \lt \rho \lt 1\) в случае \(\alpha = 1\).